5か月前公開・5か月前更新・64 min read

recsys-pythonをやったやつまとめ

Python3推薦システム

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recsys-python

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推薦システムを作ることで、機械学習を学ぶ。

https://recsyslab.github.io/recsys-python/

第1章評価履歴

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準備

import numpy as np

評価履歴

01 評価履歴の生成

np.nanを使う。
np.arrayを使う。

Du_list = [[5, 3, 1],
           [6, 2, 1],
           [4, 1, 1],
           [8, 5, -1],
           [2, 4, -1],
           [3, 6, -1],
           [7, 6, -1],
           [4, 2, np.nan],
           [5, 1, np.nan],
           [8, 6, np.nan],
           [3, 4, np.nan],
           [4, 7, np.nan],
           [4, 4, np.nan]]

Du = np.array(Du_list)

print(f'Du = \n{Du}')

Du = [[ 5. 3. 1.] [ 6. 2. 1.] [ 4. 1. 1.] [ 8. 5. -1.] [ 2. 4. -1.] [ 3. 6. -1.] [ 7. 6. -1.] [ 4. 2. nan] [ 5. 1. nan] [ 8. 6. nan] [ 3. 4. nan] [ 4. 7. nan] [ 4. 4. nan]]

02 評価履歴の形状

np.shapeを使う。

print(f'Duの形状 = {Du.shape}')

Duの形状 = (13, 3)

03 評価履歴の行数

np.shapeを使う。

print(f'Duの行数 = {Du.shape[0]}')

Duの行数 = 13

04 評価履歴の列数

np.shapeを使う。

print(f'Duの列数 = {Du.shape[1]}')

Duの列数 = 3

05 評価履歴の全要素数

np.sizeを使う。
- おそらく、np.shape[0]*np.shape[1]でもよい。

print(f'Duの全要素数 = {Du.size}')

Duの全要素数 = 39

アイテム

06 アイテム集合

アイテムは、インデックスと読み替えてもこの場合差し支えなさそう。

I = np.arange(Du.shape[0])
print(f'I = {I}')

I = [ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12]

07 アイテムの特徴ベクトルの集合

numpy行列中にある評価値以外を取り出す。

x = Du[:, :-1]
print(f'x = \n{x}')

x = [[5. 3.] [6. 2.] [4. 1.] [8. 5.] [2. 4.] [3. 6.] [7. 6.] [4. 2.] [5. 1.] [8. 6.] [3. 4.] [4. 7.] [4. 4.]]

08 アイテム $i$ の特徴ベクトル

i = 0
print(f'x{i} = {x[i]}')

x0 = [5. 3.]

09 評価値集合

ru = Du[:, -1]
print(f'ru = {ru}')

ru = [ 1. 1. 1. -1. -1. -1. -1. nan nan nan nan nan nan]

10 評価値集合の形状

print(f'ruの形状 = {ru.shape}')

ruの形状 = (13,)

11 評価値集合の全要素数

print(f'ruの全要素数 = {ru.size}')

ruの全要素数 = 13

12 評価値集合の部分集合

i = 2
j = 5
print(f'ru{i}からru{j-1}までの評価値 = {ru[i:j]}')

ru2からru4までの評価値 = [ 1. -1. -1.]

13 評価値集合の逆順

ru[::-1]により、逆順で値を取り出す。

print(f'ruの逆順 = {ru[::-1]}')

ruの逆順 = [nan nan nan nan nan nan -1. -1. -1. -1. 1. 1. 1.]

14 アイテム $i$ に対する評価

ru[i]を使う。

i = 0
print(f'ru{i} = {ru[i]}')

ru0 = 1.0

アイテム集合

15 ユーザ $u$ が未評価であるか否かの判定

ここでは、評価値

r_u

について、その第

i

成分がnp.nanであるときユーザー

u

がアイテム

i

を未評価であるとして問題を解く。

np.isnan(nparray)を使う。

print(f'ユーザuが未評価 = {np.isnan(ru)}')

ユーザuが未評価 = [False False False False False False False True True True True True True]

16 ユーザ $u$ が評価済みであるか否かの判定

np.isnan(nparray)に対して、~をつけてあげればTrueとFalseが反転するので題意を満たす。

print(f'ユーザuが評価済み = {~np.isnan(ru)}')

ユーザuが評価済み = [ True True True True True True True False False False False False False]

17 ユーザ $u$ が評価済みのアイテム集合 $I_u$

16で見た評価済みのアイテムのみを抽出する。

np.arange()について、16の結果を使ってインデキシングすることで解決する。

Iu = np.arange(ru.shape[0])[~np.isnan(ru)]
print(f'Iu = {Iu}')

Iu = [0 1 2 3 4 5 6]

18 ユーザ $u$ が好きと評価したアイテム集合 $I_{u+}$

ユーザ

u

が評価済みで、なおかつ評価値が

1

であるようなアイテム集合

I_u

を作る。

np.where(ruの条件, True, False)を使う。

Iuplus = np.arange(ru.shape[0])[np.where(ru == 1, True, False)]
print(f'Iu+ = {Iuplus}')

Iu+ = [0 1 2]

19 ユーザ $u$ が嫌いと評価したアイテム集合 $I_{u-}$

np.where()の条件部分をいじればよい。

Iuminus = np.arange(ru.shape[0])[np.where(ru == -1, True, False)]
print(f'Iu- = {Iuminus}')

Iu- = [3 4 5 6]

20 ユーザ $u$ が未評価のアイテム集合 $\bar{I}_u$

np.nanかどうかでインデキシングする。
numpy.setdiff1d()については、また今度。

Iu_not = np.arange(ru.shape[0])[np.isnan(ru)]
print(f'Iu_not = {Iu_not}')

Iu_not = [ 7 8 9 10 11 12]

訓練データと予測対象データ

21 訓練データ

17でやったインデキシングをDuに直接適用すればできるはず。

DuL = Du[~np.isnan(ru)]
print(f'DuL = \n{DuL}')

DuL = [[ 5. 3. 1.] [ 6. 2. 1.] [ 4. 1. 1.] [ 8. 5. -1.] [ 2. 4. -1.] [ 3. 6. -1.] [ 7. 6. -1.]]

22 訓練事例数

np.shapeでDuLの行数を求めればよい。

print(f'|DuL| = {DuL.shape[0]}')

|DuL| = 7

23 正事例数

np.where(ruの条件, True, False)の長さは13なので、これでインデキシングしたい場合DuLを対象としてもエラーが発生する。(一敗)

そのため今回はDuL[:, -1]、つまりDuLの中でも評価値の部分に対してnp.whereを利用した。

print(f'|DuL+| = {DuL[np.where(DuL[:, -1] == 1, True, False)].shape[0]}')

|DuL+| = 3

24 不事例数

print(f'|DuL-| = {DuL[np.where(DuL[:, -1] == -1, True, False)].shape[0]}')

|DuL-| = 4

25 予測対象データ

21でやったこととほぼ同じことをやればよい。~を外すだけ。

DuU = Du[np.isnan(ru)]
print(f'DuU = \n{DuU}')

DuU = [[ 4. 2. nan] [ 5. 1. nan] [ 8. 6. nan] [ 3. 4. nan] [ 4. 7. nan] [ 4. 4. nan]]

26 予測対象事例数

対象をDuUとして、22と同じことを行う。

print(f'|DuU| = {DuU.shape[0]}')

|DuU| = 6

第2章評価値行列

準備

import pprint
import numpy as np
np.set_printoptions(precision=3)

評価値行列

01 評価値行列の生成

正確に内容をトレースし、np.nanとnp.arrayを使う。

R_list = [[np.nan, 4, 3, 1, 2, np.nan],
          [5, 5, 4, np.nan, 3, 3],
          [4, np.nan, 5, 3, 2, np.nan],
          [np.nan, 3, np.nan, 2, 1, 1],
          [2, 1, 2, 4, np.nan, 3]]

R = np.array(R_list)

print(f'R = \n{R}')

R = [[nan 4. 3. 1. 2. nan] [ 5. 5. 4. nan 3. 3.] [ 4. nan 5. 3. 2. nan] [nan 3. nan 2. 1. 1.] [ 2. 1. 2. 4. nan 3.]]

02 ユーザ集合

第1章で親の顔ほど見たnp.arange(np.shape[0])を使う。

U = np.arange(R.shape[0])
print(f'U = {U}')

U = [0 1 2 3 4]

03 アイテム集合

02と同様に、np.arange(np.shape[1])でなんとかする。

I = np.arange(R.shape[1])
print(f'I = {I}')

I = [0 1 2 3 4 5]

04 ユーザ数

公式のヒント的にUに対してnp.sizeを使うらしい。行列ではなくベクトルの場合だとnp.shapeとの違いがいまいちわからなかったりするので調べておこうと思う。

print(f'|U| = {U.size}')

|U| = 5

05 アイテム数

04と同じように書く。

print(f'|I| = {I.size}')

|I| = 6

06 評価値

u

と

i

は与えてもらえるので、インデックスを指定して値を取り出す。

u = 0
i = 1
print(f'r{u}{i} = {R[u, i]}')

r01 = 4.0

評価値行列の疎性

07 評価値行列の全要素数

第1章では同じような状況でnp.sizeを使っていた。今回は、np.shape[0]*np.shape[1]で値を取り出してみる。

print(f'Rの全要素数 = {R.shape[0]*R.shape[1]}')

Rの全要素数 = 30

08 観測されているか否かの判定

np.isnan(R)によりRの各成分が欠損値かどうかを確認する。今回の場合は観測されているならばTrueとするようなので別途~を付け加える必要がある。

print(f'観測値 = \n{~np.isnan(R)}')

観測値 = [[False True True True True False] [ True True True False True True] [ True False True True True False] [False True False True True True] [ True True True True False True]]

09 評価値行列の観測値数

np.count.nonzero()を使えばよいらしい。そのまま真偽値のみで構成された行列に適用すると、Trueの数を数えてくれるようだ。

print(f'|R| = {np.count_nonzero(~np.isnan(R))}')

|R| = 22

10 評価値行列の疎性

sparsity

の定義に基づいて計算すればよい。少しコードが冗長になると思ったので、R.shape[index]ではなくR.sizeを使って計算している。

sparsity = (R.size-np.count_nonzero(~np.isnan(R)))/R.size
print(f'sparsity = {sparsity:.3f}')

sparsity = 0.267

評価済みアイテム集合

11 ユーザ $u$ が評価済みのアイテム集合 $I_u$

u

が与えられるので、Rのu行目の中で欠損値ではないインデックスのみを返すようにする。

u = 0
print(f'I{u} = {I[~np.isnan(R[u, :])]}')

I0 = [1 2 3 4]

12 各ユーザの評価済みアイテム集合

ポイントは、多分以下だと思う。

ndarrayのリストとしてまとめるという点
- リストにする際に内包表記を利用する点
pprintを利用する点

Iu = [I[~np.isnan(R[u, :])] for u in range(U.size)]
print('Iu = ')
pprint.pprint(Iu)

Iu = [array([1, 2, 3, 4]), array([0, 1, 2, 4, 5]), array([0, 2, 3, 4]), array([1, 3, 4, 5]), array([0, 1, 2, 3, 5])]

13 ユーザ $u$ と $v$ の共通の評価済みアイテム集合 $I_{u, v}$

u

と

v

が与えられるので、11のように評価済みアイテムを得てその共通部分をとることで望みのベクトルが得られる。共通部分の取り方は、案内通りnp.intersect1d(ndarray1, ndarray2)を使えばよい。

u = 0
v = 1
temp_u = Iu[u]
temp_v = Iu[v]
Iuv = np.intersect1d(temp_u, temp_v)
print(f'I{u}{v} = {Iuv}')

I01 = [1 2 4]

14 アイテム $i$ を評価済みのユーザ集合

i

が与えられるので、Uから

i

列目がnp.nanでないインデックスを返すように~np.isnan()を使う。

i = 0
print(f'U{i} = {U[~np.isnan(R[:, i])]}')

U0 = [1 2 4]

15 各アイテムの評価済みユーザ集合

11のコードを参考に12のコードを作ったように、14のコードを修正する。

Ui = [U[~np.isnan(R[:, i])] for i in range(I.size)]
print('Ui = ')
pprint.pprint(Ui)

Ui = [array([1, 2, 4]), array([0, 1, 3, 4]), array([0, 1, 2, 4]), array([0, 2, 3, 4]), array([0, 1, 2, 3]), array([1, 3, 4])]

16 アイテム $i$ とアイテム $j$ の両方を評価済みのユーザ集合 $U_{i, j}$

13と同じノリで作ることができる。

i = 0
j = 4
temp_i = Ui[i]
temp_j = Ui[j]
Uij = np.intersect1d(temp_i, temp_j)
print(f'U{i}{j} = {Uij}')

U04 = [1 2]

17 評価値行列全体の平均評価値

まずは、何も考えずにRをnp.mean()で平均することを考えたい。すると、悲しいことに以下のようになるのでnp.nanを避ける必要がある。

np.mean(R)

nan

ここで、元ネタの記事にもある通りnp.nanmean()をすることでnp.nanを除外した平均を算出できる。

print(f'R全体の平均評価値 = {np.nanmean(R):.3f}')

R全体の平均評価値 = 2.864

18 各アイテムの平均評価値

便利だったnp.nanmean()もnp.mean()と同様にaxisを設定できるのでそれを素直に行うことで結果を得る。この場合axis=0を指定する必要がある。

ri_mean = np.nanmean(R, axis=0)
print(f'ri_mean = {ri_mean}')

ri_mean = [3.667 3.25 3.5 2.5 2. 2.333]

19 各ユーザの平均評価値

18の、axis=1版を作ればよい。

ru_mean = np.nanmean(R, axis=1)
print(f'ru_mean = {ru_mean}')

ru_mean = [2.5 4. 3.5 1.75 2.4 ]

20 評価値ベクトルの形状変換

記載がある通り、ndarray.reshape()を使うことで望みの結果を得る。今回はru_meanを縦ベクトルのような表示にすることが目標となっていて、reshape(-1, 1)とするのがいいらしいが紛らわしいと思ってしまった。

print(f'ru_mean = \n{ru_mean.reshape(-1, 1)}')

ru_mean = [[2.5 ] [4. ] [3.5 ] [1.75] [2.4 ]]

21 平均中心化評価値行列

R - ru_meanは計算できず、エラーが発生する。ブロードキャストによって計算できそうだと期待してやってみた結果これがでたのでちょっとつらいが内包表記によってRとの差をとるような計算を試みた。理想的な解答とはかなり乖離していると思われるので、あとで調べてメモっておく。

以下、内包表記を利用した計算。一応値は合っているのだがndarray.reshape()を使う方法を思いつかなかったのが悲しい。

rubar = np.array([[rm] * I.size for rm in ru_mean])
R2 = R - rubar
print(f'R\' = \n{R2}')

R' = [[ nan 1.5 0.5 -1.5 -0.5 nan] [ 1. 1. 0. nan -1. -1. ] [ 0.5 nan 1.5 -0.5 -1.5 nan] [ nan 1.25 nan 0.25 -0.75 -0.75] [-0.4 -1.4 -0.4 1.6 nan 0.6 ]]

以下、第4章と同時に追記

ru_meanではなくru_mean.reshape(-1, 1)を使えばRとの差が直接計算できるということに後で気づいたのでコードを次のセルに記載する。

R2 = R - ru_mean.reshape(-1, 1)
print(f'R\' = \n{R2}')

R' = [[ nan 1.5 0.5 -1.5 -0.5 nan] [ 1. 1. 0. nan -1. -1. ] [ 0.5 nan 1.5 -0.5 -1.5 nan] [ nan 1.25 nan 0.25 -0.75 -0.75] [-0.4 -1.4 -0.4 1.6 nan 0.6 ]]

第3章類似度に基づく推薦

準備

import pprint
import numpy as np

# 上位K件
TOP_K = 3

Du = np.array([
               [5, 3, +1],
               [6, 2, +1],
               [4, 1, +1],
               [8, 5, -1],
               [2, 4, -1],
               [3, 6, -1],
               [7, 6, -1],
               [4, 2, np.nan],
               [5, 1, np.nan],
               [8, 6, np.nan],
               [3, 4, np.nan],
               [4, 7, np.nan],
               [4, 4, np.nan],
])
I = np.arange(Du.shape[0])
x = Du[:,:-1]
ru = Du[:,-1]

Iu = I[~np.isnan(ru)]
Iup = I[ru==+1]
Iun = I[ru==-1]
Iu_not = np.setdiff1d(I, Iu)

ユーザプロファイル

01 好きなアイテム集合に含まれるアイテムの特徴ベクトルの集合

xは以下の通りであるから、ruが1となっているインデックスのみがTrueになるようなベクトルを使ってあげればよいはず。

array([[5., 3.], [6., 2.], [4., 1.], [8., 5.], [2., 4.], [3., 6.], [7., 6.], [4., 2.], [5., 1.], [8., 6.], [3., 4.], [4., 7.], [4., 4.]])

従って、以下のように書くことで答えを得た。np.where()を用いることによって、ruの値が1のところのみTrueになるようにしている。

print(f'x[Iu+] = \n{x[np.where(ru == 1, True, False)]}')

x[Iu+] = [[5. 3.] [6. 2.] [4. 1.]]

02 特徴ベクトルの総和

これは、01で得たIu+に対して、axisを工夫して総和をとればよいはずだ。今回は行方向に和をとるはずだから、axis=0を使えばいいかもしれない。

print(f'sum(x[Iu+]) = {x[np.where(ru == 1, True, False)].sum(axis=0)}')

sum(x[Iu+]) = [15. 6.]

03 ユーザプロファイル

02のコードについて、総和ではなく平均をとるように修正すればよい。

pu = x[np.where(ru == 1, True, False)].mean(axis=0)
print(f'pu = {pu}')

pu = [5. 2.]

コサイン類似度

04 ベクトルの内積

ここでは、04から06までの3問を解いて一部コードを与えられた関数cosを完成させることを考える。

内積numは、よく用いられる@かnp.dot()を利用して計算されるので今回もそれを用いて計算していく。

05 ユーザプロファイルのノルム

ユーザプロファイルのノルムden_uは、np.linalg.norm()をユーザプロファイルのベクトルに使うことで計算可能なはずだ。引数ordは何も設定しない場合デフォルトで2になったような気もするが、一応指定はしておく。

06 特徴ベクトルのノルム

05のコードに対して、np.linalg.norm()の引数に指定するベクトルをxiに変更すればよい。

以下では、04から06までの問の答えを用意してcos関数を作成し、実行結果を確認している。

def cos(pu, xi):
    """
    コサイン類似度関数：ユーザプロファイルpuとアイテムiの特徴ベクトルxiのコサイン類似度を返す。

    Parameters
    ----------
    pu : ndarray
        ユーザuのユーザプロファイル
    xi : ndarray
        アイテムiの特徴ベクトル

    Returns
    -------
    float
        コサイン類似度
    """
    num = pu@xi
    print(f'num = {num}')
    den_u = np.linalg.norm(pu, ord=2)
    print('den_u = {:.3f}'.format(den_u))
    den_i = np.linalg.norm(xi, ord=2)
    print('den_i = {:.3f}'.format(den_i))
    
    cosine = num / (den_u * den_i)
    return cosine

u = 0
i = 7
print(f'cos(p{u}, x{i}) = {cos(pu, x[i]):.3f}')
u = 0
i = 11
print(f'cos(p{u}, x{i}) = {cos(pu, x[i]):.3f}')

num = 24.0 den_u = 5.385 den_i = 4.472 cos(p0, x7) = 0.997 num = 34.0 den_u = 5.385 den_i = 8.062 cos(p0, x11) = 0.783

第4章 $k$ 近傍法

準備

import pprint
import numpy as np
np.set_printoptions(precision=3)

# 上位K件
TOP_K = 3
# 近傍アイテム数
K_ITEMS = 3
# しきい値
THETA = 0

Du = np.array([
               [5, 3, +1],
               [6, 2, +1],
               [4, 1, +1],
               [8, 5, -1],
               [2, 4, -1],
               [3, 6, -1],
               [7, 6, -1],
               [4, 2, np.nan],
               [5, 1, np.nan],
               [8, 6, np.nan],
               [3, 4, np.nan],
               [4, 7, np.nan],
               [4, 4, np.nan],
])
I = np.arange(Du.shape[0])
x = Du[:,:-1]
ru = Du[:,-1]

Iu = I[~np.isnan(ru)]
Iup = I[ru==+1]
Iun = I[ru==-1]
Iu_not = np.setdiff1d(I, Iu)

距離

01 ユークリッド距離

この問題では、一部コードを与えられた関数distを完成させる。distでは2つのベクトルを入力としてそのユークリッド距離を返すものなので、2つのベクトルの差に対してnp.linalg.normを使えばよいはずだ。

def dist(xi, xj):
    """
    距離関数：アイテムiの特徴ベクトルxiとアイテムjの特徴ベクトルxjのユークリッド距離を返す。

    Parameters
    ----------
    xi : ndarray
        アイテムiの特徴ベクトル
    xj : ndarray
        アイテムjの特徴ベクトル

    Returns
    -------
    float
        ユークリッド距離
    """
    distance = np.linalg.norm(xi-xj, ord = 2)
    return distance

i = 7
j = 2
print(f'dist(x{i}, x{j}) = {dist(x[i], x[j]):.3f}')
i = 7
j = 3
print(f'dist(x{i}, x{j}) = {dist(x[i], x[j]):.3f}')

dist(x7, x2) = 1.000 dist(x7, x3) = 5.000

近傍アイテム

02 アイテム-アイテム距離行列

IuとIu_notの両方からアイテムを取り出し、アイテムの持つベクトルの距離をdist関数を使って求める問題である。とりあえずnp.array()により2重内包表記の結果を包むことで答えと同じものが返ってくるようにはしたけど、題意的には正解と言いがたいかもしれない。あと、正直D[np.ix_(Iu_not,Iu)]がよくわかっていない。

D = np.array([[dist(x[i], x[j]) for i in Iu] for j in Iu_not])
print(f'D = \n{D}')

D = [[1.414 2. 1. 5. 2.828 4.123 5. ] [2. 1.414 1. 5. 4.243 5.385 5.385] [4.243 4.472 6.403 1. 6.325 5. 1. ] [2.236 3.606 3.162 5.099 1. 2. 4.472] [4.123 5.385 6. 4.472 3.606 1.414 3.162] [1.414 2.828 3. 4.123 2. 2.236 3.606]]

03 距離の昇順に並べ替えたインデックスの配列

xの各行xindexとIuに含まれる各アイテムiuの持つベクトルx[iu]の距離を求めて02と同じようにndarrayに変換し、argsortによって昇順に番号をつけることで望みの結果を得た。

Ii = np.array([[dist(xindex, x[iu]) for iu in Iu] for xindex in x]).argsort()
print(f'Ii = \n{Ii}')

Ii = [[0 1 2 4 3 5 6] [1 0 2 3 6 4 5] [2 0 1 4 5 3 6] [3 6 0 1 5 2 4] [4 5 0 2 1 6 3] [5 4 0 6 1 2 3] [6 3 0 5 1 4 2] [2 0 1 4 5 3 6] [2 1 0 4 3 5 6] [3 6 0 1 5 4 2] [4 5 0 2 1 6 3] [5 6 4 0 3 1 2] [0 4 5 1 2 6 3]]

04 近傍 $k$ 件のアイテムのインデックス配列

Iiの結果に対して、スライシングすることで最初のTOP_K列分だけを抽出する。これを使って評価値が+1だったアイテムと近いアイテムがどれであったかを確認することができる。各行の持つ数値の中に3以上のものがあったのならば、「嫌い」と評価したアイテムが最近傍の3件に含まれていることを示している。

Ii = Ii[:, :TOP_K]
print(f'Ii = \n{Ii}')

Ii = [[0 1 2] [1 0 2] [2 0 1] [3 6 0] [4 5 0] [5 4 0] [6 3 0] [2 0 1] [2 1 0] [3 6 0] [4 5 0] [5 6 4] [0 4 5]]

05 各対象アイテムの近傍アイテム集合

Iu_notからアイテムをとってきて、保存したIiからアイテムで行を指定して抽出することを考える。

Ii = {i: Ii[i] for i in Iu_not}
print('Ii = ')
pprint.pprint(Ii)

Ii = {7: array([2, 0, 1]), 8: array([2, 1, 0]), 9: array([3, 6, 0]), 10: array([4, 5, 0]), 11: array([5, 6, 4]), 12: array([0, 4, 5])}

嗜好予測（多数決方式）

06 近傍アイテム集合のうち「好き」と評価したアイテム集合

ここでは、06から08の問題を解いて一部コードを与えられた関数predict1を完成させる。

06では、Ii[i]にnp.isin()を使ったインデキシングをすることで答えを得る。Ii[i]はアイテム集合のうち、距離が近かったアイテム3件の中に「好き」と評価したアイテムが入っているかどうかを判断するための数値が入っている。

07 近傍アイテム集合のうち「嫌い」と評価したアイテム集合

07では、06と同様の方法で答えを得ることができる。

08 多数決方式による予測評価値

IipとIinに対してnp.size()を使うことで

i

の近傍アイテム集合中に「好き」と評価したアイテムがいくつあるか、「嫌い」と評価したアイテムがいくつあるかがわかるので、その結果に対して素直にif文を使ってあげればよい。

def predict1(u, i):
    """
    予測関数（多数決方式）：多数決方式によりユーザuのアイテムiに対する予測評価値を返す。

    Parameters
    ----------
    u : int
        ユーザuのID（ダミー）
    i : int
        アイテムiのID

    Returns
    -------
    float
        予測評価値
    """
    Iip = Ii[i][np.isin(Ii[i], Iup)]
    print(f'I{i}+ = {Iip}')
    Iin = Ii[i][np.isin(Ii[i], Iun)]
    print(f'I{i}- = {Iin}')
    if Iip.size > Iin.size:
        rui = 1
    elif Iip.size < Iin.size:
        rui = -1
    else:
        rui = 0
    return rui

u = 0
i = 7
print(f'predict1({u}, {i}) = {predict1(u, i):.3f}')
u = 0
i = 9
print(f'predict1({u}, {i}) = {predict1(u, i):.3f}')

I7+ = [2 0 1] I7- = [] predict1(0, 7) = 1.000 I9+ = [0] I9- = [3 6] predict1(0, 9) = -1.000

嗜好予測（平均方式）

09 平均方式による予測評価値

06から08で完成させた関数predict1を参考に、ruiの部分を平均方式に修正したものを関数predict2として作成する。

def predict2(u, i):
    """
    予測関数（多数決方式）：多数決方式によりユーザuのアイテムiに対する予測評価値を返す。

    Parameters
    ----------
    u : int
        ユーザuのID（ダミー）
    i : int
        アイテムiのID

    Returns
    -------
    float
        予測評価値
    """
    Iip = Ii[i][np.isin(Ii[i], Iup)]
    Iin = Ii[i][np.isin(Ii[i], Iun)]
    rui = (Iip.size - Iin.size)/K_ITEMS
    return rui

u = 0
i = 7
print(f'predict2({u}, {i}) = {predict1(u, i):.3f}')
u = 0
i = 9
print(f'predict2({u}, {i}) = {predict1(u, i):.3f}')

I7+ = [2 0 1] I7- = [] predict2(0, 7) = 1.000 I9+ = [0] I9- = [3 6] predict2(0, 9) = -1.000

第5章ユーザベース協調フィルタリング

準備

import pprint
import numpy as np
np.set_printoptions(precision=3)

# 近傍ユーザ数
K_USERS = 3
# 閾値
THETA = 0

R = np.array([
              [np.nan, 4,      3,      1,      2,      np.nan],
              [5,      5,      4,      np.nan, 3,      3     ],
              [4,      np.nan, 5,      3,      2,      np.nan],
              [np.nan, 3,      np.nan, 2,      1,      1     ],
              [2,      1,      2,      4,      np.nan, 3     ],
])
U = np.arange(R.shape[0])
I = np.arange(R.shape[1])
Ui = [U[~np.isnan(R)[:,i]] for i in I]
Iu = [I[~np.isnan(R)[u,:]] for u in U]
ru_mean = np.nanmean(R, axis=1)
R2 = R - ru_mean.reshape((ru_mean.size, 1))

ピアソンの相関係数

01 ピアソンの相関係数（分子）

以下では、01から03の問題を解いて一部コードを与えられた関数pearson1を完成させる。

01はピアソンの相関係数の分子を、取得した各ベクトルから計算するというものである。Iuvは、ユーザ

u

やユーザ

v

による評価値が存在する列のみを集めたIu[u]やIu[v]の共通項をとることで比較可能なアイテムの評価を取得したものである。これに対し、各ユーザの評価を平均したものを作って差をとり、内積を計算すればよい。

02 ピアソンの相関係数の算出（分母左部）

内積を作る際に作ったユーザ

u

に関するベクトルをruiとして、それに対してnp.linalg.norm(uri, ord = 2)を使ってあげればよい。

03 ピアソンの相関係数の算出（分母右部）

内積を作る際に作ったユーザ

v

に関するベクトルをrviとして、それに対してnp.linalg.norm(uvi, ord = 2)を使ってあげればよい。

def pearson1(u, v):
    """
    評価値行列Rにおけるユーザuとユーザvのピアソンの相関係数を返す。

    Parameters
    ----------
    u : int
        ユーザuのID
    v : int
        ユーザvのID

    Returns
    -------
    float
        ピアソンの相関係数
    """
    Iuv = np.intersect1d(Iu[u], Iu[v])
    # R[u][Iu[u]]とR[v][Iu[v]]のIu[u]とIu[v]の部分をIuvにしてしまい時間を溶かした。
    # ユーザの評価はすべて平均に反映する点に注意が必要かも。
    rui = R[u][Iuv] - R[u][Iu[u]].mean()
    rvi = R[v][Iuv] - R[v][Iu[v]].mean()
    num = np.dot(rui, rvi)
    print(f'num = {num}')
    den_u = np.linalg.norm(rui, ord = 2)
    print(f'den_u = {den_u:.3f}')
    den_v = np.linalg.norm(rvi, ord = 2)
    print(f'den_v = {den_v:.3f}')
    
    prsn = num / (den_u * den_v)
    return prsn

u = 0
v = 1
prsn = pearson1(u, v)
print(f'pearson1({u}, {v}) = {prsn:.3f}')

num = 2.0 den_u = 1.658 den_v = 1.414 pearson1(0, 1) = 0.853

平均中心化評価値行列に基づくピアソンの相関係数

04 ピアソンの相関係数（分子）

以下では、04から06の問題を解いて一部コードを与えられた関数pearson2を完成させる。

04は01と同じようにピアソンの相関係数の分子を、取得した各ベクトルから計算するというものである。RでなくR2を利用するところが大きな変更点となる。

05 ピアソンの相関係数の算出（分母左部）

内積を作る際に作ったユーザ

u

に関するベクトルをruiとして、それに対してnp.linalg.norm(uri, ord = 2)を使ってあげればよい。02と違い、R2を使う点がポイントとなっている。

06 ピアソンの相関係数の算出（分母右部）

03と同様に内積を作る際に作ったユーザ

v

に関するベクトルをrviとして、それに対してnp.linalg.norm(uvi, ord = 2)を使ってあげればよい。R2を使う点がポイント。

def pearson2(u, v):
    """
    平均中心化評価値行列R2におけるユーザuとユーザvのピアソンの相関係数を返す。

    Parameters
    ----------
    u : int
        ユーザuのID
    v : int
        ユーザvのID

    Returns
    -------
    float
        ピアソンの相関係数
    """
    Iuv = np.intersect1d(Iu[u], Iu[v])
    
    rui = R2[u][Iuv]
    rvi = R2[v][Iuv]
    num = np.dot(rui, rvi)
    print('num = {}'.format(num))
    den_u = np.linalg.norm(rui, ord = 2)
    print('den_u = {:.3f}'.format(den_u))
    den_v = np.linalg.norm(rvi, ord = 2)
    print('den_v = {:.3f}'.format(den_v))

    prsn = num / (den_u * den_v)
    return prsn

u = 0
v = 1
prsn = pearson2(u, v)
print(f'pearson2({u}, {v}) = {prsn:.3f}')

num = 2.0 den_u = 1.658 den_v = 1.414 pearson2(0, 1) = 0.853

ユーザ-ユーザ類似度行列

07 ユーザ-ユーザ類似度行列

ユーザ対ユーザについてその相関係数をR2によって計算するという問題。内包表記で2重リストを作って、np.array()すればよさそう。以下では、それらに加えて関数simで利用するのが関数pearson2だと各種printが発生する問題があったのでそれを取り除いた関数pearson3を別途作って対応した。

def pearson3(u, v):
    """
    平均中心化評価値行列R2におけるユーザuとユーザvのピアソンの相関係数を返す。

    Parameters
    ----------
    u : int
        ユーザuのID
    v : int
        ユーザvのID

    Returns
    -------
    float
        ピアソンの相関係数
    """
    Iuv = np.intersect1d(Iu[u], Iu[v])
    
    rui = R2[u][Iuv]
    rvi = R2[v][Iuv]
    num = np.dot(rui, rvi)
    den_u = np.linalg.norm(rui, ord = 2)
    den_v = np.linalg.norm(rvi, ord = 2)

    prsn = num / (den_u * den_v)
    return prsn

def sim(u, v):
    """
    ユーザ類似度関数：ユーザuとユーザvのユーザ類似度を返す。

    Parameters
    ----------
    u : int
        ユーザuのID
    v : int
        ユーザvのID

    Returns
    -------
    float
        ユーザ類似度
    """
    return pearson3(u, v)

S = np.array([[sim (u, v) for u in U] for v in U])
print(f'S = \n{S}')

S = [[ 1. 0.853 0.623 0.582 -0.997] [ 0.853 1. 0.649 0.968 -0.853] [ 0.623 0.649 1. 0.8 -0.569] [ 0.582 0.968 0.8 1. -0.551] [-0.997 -0.853 -0.569 -0.551 1. ]]

類似ユーザの選定

08 類似度上位k人のユーザ集合

以下では、08と09の問題を解いて一部コードを与えられた処理について完成させる。08ではあらかじめユーザの類似度を与えた行列Sから作った辞書が与えられていて、キーはユーザ、バリューはまた別の辞書となっていることがUuからわかる。

08では、Uuのバリューの中で各キーに対して格納されている辞書を類似度の順番に並べて上位K_USERS件のみを残すというものであるため、その辞書のソートを行う。

09 類似度がしきい値以上のユーザ集合

09ではUuのバリュー側に格納された辞書について、条件式を使ってそのバリューの値がTHETA未満のものを除外する。

Uu = {u: {v: S[u,v] for v in U if u!=v} for u in U}
print('Uu = ')
pprint.pprint(Uu)
Uu = {u: dict(sorted(Uu[u].items(), key=lambda x:x[1], reverse=True)[:K_USERS]) for u in Uu.keys()}
print('Uu = ')
pprint.pprint(Uu)
Uu = {u: {v[0]: v[1] for v in Uu[u].items() if v[1] >= THETA} for u in Uu.keys()}
print('Uu = ')
pprint.pprint(Uu)
Uu = {u: np.array(list(Uu[u].keys())) for u in U}
print('Uu = ')
pprint.pprint(Uu)

Uu = {0: {1: 0.8528028654224417, 2: 0.6225430174794672, 3: 0.5816750507471109, 4: -0.9968461286620518}, 1: {0: 0.8528028654224417, 2: 0.6488856845230501, 3: 0.9684959969581863, 4: -0.8528028654224418}, 2: {0: 0.6225430174794672, 1: 0.6488856845230501, 3: 0.7999999999999998, 4: -0.5685352436149611}, 3: {0: 0.5816750507471109, 1: 0.9684959969581863, 2: 0.7999999999999998, 4: -0.550920031004556}, 4: {0: -0.9968461286620518, 1: -0.8528028654224418, 2: -0.5685352436149611, 3: -0.550920031004556}} Uu = {0: {1: 0.8528028654224417, 2: 0.6225430174794672, 3: 0.5816750507471109}, 1: {0: 0.8528028654224417, 2: 0.6488856845230501, 3: 0.9684959969581863}, 2: {0: 0.6225430174794672, 1: 0.6488856845230501, 3: 0.7999999999999998}, 3: {0: 0.5816750507471109, 1: 0.9684959969581863, 2: 0.7999999999999998}, 4: {1: -0.8528028654224418, 2: -0.5685352436149611, 3: -0.550920031004556}} Uu = {0: {1: 0.8528028654224417, 2: 0.6225430174794672, 3: 0.5816750507471109}, 1: {0: 0.8528028654224417, 2: 0.6488856845230501, 3: 0.9684959969581863}, 2: {0: 0.6225430174794672, 1: 0.6488856845230501, 3: 0.7999999999999998}, 3: {0: 0.5816750507471109, 1: 0.9684959969581863, 2: 0.7999999999999998}, 4: {}} Uu = {0: array([1, 2, 3]), 1: array([3, 0, 2]), 2: array([3, 1, 0]), 3: array([1, 2, 0]), 4: array([], dtype=float64)}

嗜好予測

10 類似ユーザ集合の中でアイテムiを評価済みのユーザ集合

以下では、10と11の問題を解いて一部コードを与えられた関数predictについて完成させる。

Uuiは、アイテムiを評価したユーザUi[i]とユーザuの近傍にいるユーザUu[u]の共通点を、np.intersect1d()を使って求めることで作ることができる。

11 予測評価値

11では、予測評価値のUuiの大きさが0でなかった場合に発生する複雑そうな項を作っていく。sim(u, v)はS[u, v]であったので、uに対するUuiをインデックスに指定してあげてndarray状のベクトルを取得して計算に用いる。

r^{'}_{v, i}

についてはR2[v, i]が相当する部分だったはずなのでv部分をUuiで指定してあげて計算用のndarrayを取得する。こうして取得したベクトルを、前者のndarrayは分子の内積計算と分母の絶対値をとった和の計算に、後者のndarrayは分子の内積計算に用いればよい。

def predict(u, i):
    """
    予測関数：ユーザuのアイテムiに対する予測評価値を返す。

    Parameters
    ----------
    u : int
        ユーザuのID
    i : int
        アイテムiのID

    Returns
    -------
    float
        ユーザuのアイテムiに対する予測評価値
    """
    Uui = np.intersect1d(Uu[u], Ui[i])
    print(f'U{u}{i} = {Uui}')

    if Uui.size <= 0:
        return ru_mean[u]
    else:
        rui_pred = ru_mean[u] + np.dot(S[u][Uui], R2[:, i][Uui])/np.abs(S[u][Uui]).sum()
    
    return rui_pred

u = 0
i = 0
print('r{}{} = {:.3f}'.format(u, i, predict(u, i)))
u = 0
i = 5
print('r{}{} = {:.3f}'.format(u, i, predict(u, i)))

U00 = [1 2] r00 = 3.289 U05 = [1 3] r05 = 1.601

評価値行列の補完

12 評価値行列の補完

行列状のRに対して、np.nanの部分のみを予測値predict(u, i)で埋めてあげればよい。余計なprintが発生する関係で、ここではpredict12関数を別途用意した上で、2重内包表記の各成分を求めつつ最後にnp.array()でndarrayとしたR3を作った。

def predict12(u, i):
    """
    予測関数：ユーザuのアイテムiに対する予測評価値を返す。

    Parameters
    ----------
    u : int
        ユーザuのID
    i : int
        アイテムiのID

    Returns
    -------
    float
        ユーザuのアイテムiに対する予測評価値
    """
    Uui = np.intersect1d(Uu[u], Ui[i])

    if Uui.size <= 0:
        return ru_mean[u]
    else:
        
        rui_pred = ru_mean[u] + np.dot(S[u][Uui], R2[:, i][Uui])/np.abs(S[u][Uui]).sum()
    
    return rui_pred

R3 = np.array([[predict12(r0, r1) if np.isnan(R[r0, r1]) else R[r0, r1] for r1 in range(R.shape[1])] for r0 in range(R.shape[0])])
print(f'R\'\' = \n{R3}')

R'' = [[3.289 4. 3. 1. 2. 1.601] [5. 5. 4. 3.449 3. 3. ] [4. 4.747 5. 3. 2. 2.638] [2.524 3. 2.384 2. 1. 1. ] [2. 1. 2. 4. 2.4 3. ]]

第6章アイテムベース協調フィルタリング

準備

import pprint
import numpy as np
np.set_printoptions(precision=3)

# 近傍アイテム数
K_ITEMS = 3
# 閾値
THETA = 0

R = np.array([
              [np.nan, 4,      3,      1,      2,      np.nan],
              [5,      5,      4,      np.nan, 3,      3     ],
              [4,      np.nan, 5,      3,      2,      np.nan],
              [np.nan, 3,      np.nan, 2,      1,      1     ],
              [2,      1,      2,      4,      np.nan, 3     ],
])
U = np.arange(R.shape[0])
I = np.arange(R.shape[1])
Ui = [U[~np.isnan(R)[:,i]] for i in I]
Iu = [I[~np.isnan(R)[u,:]] for u in U]
ru_mean = np.nanmean(R, axis=1)
R2 = R - ru_mean.reshape((ru_mean.size, 1))

コサイン類似度

01 アイテム $i$ とアイテム $j$ のコサイン類似度

問題01では、一部コードのみ与えられた関数cosを完成させていく。することとしては、内積をとるためのベクトルをとるためのインデックスはUijに用意されているのでそれを用いてRからiとjのベクトルを取得することである。

def cos(i, j):
    """
    評価値行列Rにおけるアイテムiとアイテムjのコサイン類似度を返す。

    Parameters
    ----------
    i : int
        アイテムiのID
    j : int
        アイテムjのID

    Returns
    -------
    float
        コサイン類似度
    """
    Uij = np.intersect1d(Ui[i], Ui[j])
    cosine = np.dot(R[Uij, i], R[Uij, j]) / (np.linalg.norm(R[Uij, i]) * np.linalg.norm(R[Uij, j]))
    return cosine

i = 0
j = 4
cosine = cos(i, j)
print(f'cos({i}, {j}) = {cosine:.3f}')

cos(0, 4) = 0.996

調整コサイン類似度

02 アイテムiとアイテムjの調整コサイン類似度

問題02では、一部コードのみ与えられた関数adjusted_cosを完成させていく。することとしては、問題01で作った部分をRではなくR2を利用する形に書き直せばよい。

def adjusted_cos(i, j):
    """
    評価値行列R2におけるアイテムiとアイテムjの調整コサイン類似度を返す。

    Parameters
    ----------
    i : int
        アイテムiのID
    j : int
        アイテムjのID

    Returns
    -------
    cosine : float
        調整コサイン類似度
    """
    Uij = np.intersect1d(Ui[i], Ui[j])
    
    Uij = np.intersect1d(Ui[i], Ui[j])
    cosine = np.dot(R2[Uij, i], R2[Uij, j]) / (np.linalg.norm(R2[Uij, i]) * np.linalg.norm(R2[Uij, j]))
    return cosine

i = 0
j = 4
cosine = adjusted_cos(i, j)
print(f'adjusted_cos({i}, {j}) = {cosine:.3f}')

adjusted_cos(0, 4) = -0.868

アイテム-アイテム類似度行列

03 アイテム-アイテム類似度行列

問題03では、アイテム間の類似度行列

S

を作成する。2重内包表記の各成分を、与えられた関数simによる計算によって与えればよい。

def sim(i, j):
    """
    アイテム類似度関数：アイテムiとアイテムjのアイテム類似度を返す。

    Parameters
    ----------
    i : int
        アイテムiのID
    j : int
        アイテムjのID

    Returns
    -------
    float
        アイテム類似度
    """
    return adjusted_cos(i, j)

S = np.array([[sim(i, j) for i in I] for j in I])
print('S = \n{}'.format(S))

S = [[ 1. 0.842 0.494 -0.829 -0.868 -0.987] [ 0.842 1. 0.896 -0.788 -0.91 -0.942] [ 0.494 0.896 1. -0.583 -0.845 -0.514] [-0.829 -0.788 -0.583 1. 0.469 0.497] [-0.868 -0.91 -0.845 0.469 1. 1. ] [-0.987 -0.942 -0.514 0.497 1. 1. ]]

類似アイテムの選定

04 類似度上位k件のアイテム集合

以下では、04と05の問題を解いて一部コードを与えられた処理について完成させる。04ではあらかじめユーザの類似度を与えた行列Sから作った辞書が与えられていて、キーはユーザ、バリューはまた別の辞書となっていることがIiからわかる。これに対して、少し複雑だが入れ子になっているほうの辞書のバリューによって並べ替えを行う。

05 類似度がしきい値以上のアイテム集合

05ではIiのバリュー側に格納された辞書について、条件式を使ってそのバリューの値がTHETA未満のものを除外する。

# アイテム-アイテム類似度行列から対象アイテムを除外した辞書
Ii = {i: {j: S[i,j] for j in I if i != j} for i in I}
print('Ii = ')
pprint.pprint(Ii)
Ii = {i[0]: dict(sorted(i[1].items(), key=lambda x:x[1], reverse=True)[:K_USERS]) for i in Ii.items()}
print('Ii = ')
pprint.pprint(Ii)
Ii = {i: {j[0]: j[1] for j in Ii[i].items() if j[1] >= THETA} for i in Ii.keys()}
print('Ii = ')
pprint.pprint(Ii)
# 各アイテムの類似アイテム集合をまとめた辞書
Ii = {i: np.array(list(Ii[i].keys())) for i in I}
print('Ii = ')
pprint.pprint(Ii)

Ii = {0: {1: 0.8418791389638738, 2: 0.49365474375598073, 3: -0.8291725540450335, 4: -0.8682431421244593, 5: -0.987241120712647}, 1: {0: 0.8418791389638738, 2: 0.896314672184623, 3: -0.7876958617794716, 4: -0.9099637547345425, 5: -0.9419581446623225}, 2: {0: 0.49365474375598073, 1: 0.896314672184623, 3: -0.5833076828172804, 4: -0.8451542547285166, 5: -0.5144957554275266}, 3: {0: -0.8291725540450335, 1: -0.7876958617794716, 2: -0.5833076828172804, 4: 0.4685212856658182, 5: 0.49665813370370504}, 4: {0: -0.8682431421244593, 1: -0.9099637547345425, 2: -0.8451542547285166, 3: 0.4685212856658182, 5: 1.0}, 5: {0: -0.987241120712647, 1: -0.9419581446623225, 2: -0.5144957554275266, 3: 0.49665813370370504, 4: 1.0}} Ii = {0: {1: 0.8418791389638738, 2: 0.49365474375598073, 3: -0.8291725540450335}, 1: {0: 0.8418791389638738, 2: 0.896314672184623, 3: -0.7876958617794716}, 2: {0: 0.49365474375598073, 1: 0.896314672184623, 5: -0.5144957554275266}, 3: {2: -0.5833076828172804, 4: 0.4685212856658182, 5: 0.49665813370370504}, 4: {2: -0.8451542547285166, 3: 0.4685212856658182, 5: 1.0}, 5: {2: -0.5144957554275266, 3: 0.49665813370370504, 4: 1.0}} Ii = {0: {1: 0.8418791389638738, 2: 0.49365474375598073}, 1: {0: 0.8418791389638738, 2: 0.896314672184623}, 2: {0: 0.49365474375598073, 1: 0.896314672184623}, 3: {4: 0.4685212856658182, 5: 0.49665813370370504}, 4: {3: 0.4685212856658182, 5: 1.0}, 5: {3: 0.49665813370370504, 4: 1.0}} Ii = {0: array([1, 2]), 1: array([2, 0]), 2: array([1, 0]), 3: array([5, 4]), 4: array([5, 3]), 5: array([4, 3])}

嗜好予測

06 類似アイテム集合の中でユーザuが評価値を与えているアイテム集合

Iiuは、ユーザuが評価したアイテムIu[u]とアイテム

i

の近傍にあるアイテムIi[i]の共通点を、np.intersect1d()を使って求めることで作ることができる。

07 予測評価値

07では、予測評価値のIiuの大きさが0でなかった場合に発生する複雑そうな項を作っていく。やっていることは基本的に第5章の11に書いた操作で、対象の変数を変えた以外は同じと考えてもさしつかえないように思う。

def predict(u, i):
    """
    予測関数：ユーザuのアイテムiに対する予測評価値を返す。

    Parameters
    ----------
    u : int
        ユーザuのID
    i : int
        アイテムiのID
    
    Returns
    -------
    float
        ユーザuのアイテムiに対する予測評価値
    """
    Iiu = np.intersect1d(Ii[i], Iu[u])
    print(f'I{i}{u} = {Iiu}')

    if Iiu.size <= 0:
        return ru_mean[u]
    else:
        rui_pred = ru_mean[u] + np.dot(S[i][Iiu], R2[u, :][Iiu])/np.abs(S[i][Iiu]).sum()
    return rui_pred

u = 0
i = 0
print(f'r{u}{i} = {predict(u, i):.3f}')
u = 0
i = 5
print(f'r{u}{i} = {predict(u, i):.3f}')

I00 = [1 2] r00 = 3.630 I50 = [3 4] r05 = 1.668

第7章評価履歴の次元削減

準備

import numpy as np
import numpy.linalg as LA
np.set_printoptions(precision=3)

# 縮約後の次元数
DIM = 2

Du = np.array([
               [5, 3, 3, +1],
               [6, 2, 5, +1],
               [4, 1, 5, +1],
               [8, 5, 9, -1],
               [2, 4, 2, -1],
               [3, 6, 5, -1],
               [7, 6, 8, -1],
               [4, 2, 3, np.nan],
               [5, 1, 8, np.nan],
               [8, 6, 6, np.nan],
               [3, 4, 2, np.nan],
               [4, 7, 5, np.nan],
               [4, 4, 4, np.nan],
])
I = np.arange(Du.shape[0])
x = Du[:,:-1]
ru = Du[:,-1]

分散共分散行列

01 各特徴量の平均値

結果欄から、xの行方向つまりaxis=0について平均をとればよい。

xk_mean = x.mean(axis=0)
print('xk_mean = {}'.format(xk_mean))

xk_mean = [4.846 3.923 5. ]

02 各特徴量の分散

01と同様にvarで分散をとればよい。求める値は、数式から見ても不偏分散ではないことに注意。

s2 = x.var(axis=0)
print(f's^2 = {s2}')

s^2 = [3.361 3.763 4.769]

03 各特徴量の標準化

01と02の結果を用いて、標準化を行う。numpyのブロードキャストによって単純に差や商をとる計算が使えるので普通に計算すればよい。一応、np.sqrt()を使う必要があることに注意。

x2 = (x - xk_mean) / np.sqrt(s2)
print(f'x\' = \n{x2}')

x' = [[ 0.084 -0.476 -0.916] [ 0.629 -0.991 0. ] [-0.462 -1.507 0. ] [ 1.72 0.555 1.832] [-1.552 0.04 -1.374] [-1.007 1.071 0. ] [ 1.175 1.071 1.374] [-0.462 -0.991 -0.916] [ 0.084 -1.507 1.374] [ 1.72 1.071 0.458] [-1.007 0.04 -1.374] [-0.462 1.586 0. ] [-0.462 0.04 -0.458]]

04 標準化された特徴量 $k$ と特徴量 $l$ の共分散

03で計算済みのx2を用いて共分散を求めるとよい。np.covの引数でbias=Trueを用いることで不偏分散ではない分散を求めることができる。

k = 0
l = 1
skl = np.cov(x2[:, k], x2[:, l], bias = True)[0, 1]
print(f's{k}{l} = {skl:.3f}')

s01 = 0.191

05 分散共分散行列

04でも使ったnp.covを使って分散共分散行列を求めればよい。ただ、np.covにそのままx2を入れると行対行の分散共分散行列が作られるのでx2.Tという転置したものを引数に指定する。

S = np.cov(x2.T, bias = True)
print(f'S = \n{S}')

S = [[1. 0.191 0.749] [0.191 1. 0.163] [0.749 0.163 1. ]]

固有値・固有ベクトル

06 固有値・固有ベクトル

問題の案内にもある通り、np.linalg.eig()を利用して固有値と固有ベクトルを求める。

lmd, v = LA.eig(S)
print(f'λ = {lmd}')
print(f'v = \n{v}')

λ = [1.826 0.25 0.924] v = [[-0.679 -0.71 0.186] [-0.291 0.028 -0.956] [-0.674 0.704 0.225]]

07 固有値の降順にソートしたインデックス配列

固有値が大きい順に並べた場合のインデックスを求める。そのためにnp.argsort()を用いればよいのだが、今回は降順なのでlmdを引数に指定する際に符号を逆にしてやる必要がある。

indices = np.argsort(-lmd)
print(f'indices = {indices}')

indices = [0 2 1]

08 固有値の降順に固有値配列をソート

lmdのインデキシングにindicesを使ってあげればよい。

lmd = lmd[indices]
print(f'λ = {lmd}')

λ = [1.826 0.924 0.25 ]

09 固有値の降順に固有ベクトル配列をソート

vの列方向について、indicesでその順番を指定してあげればよい。

v = v[:, indices]
print(f'v = \n{v}')

v = [[-0.679 0.186 -0.71 ] [-0.291 -0.956 0.028] [-0.674 0.225 0.704]]

10 第d主成分までの固有ベクトル

vのDIM列めまでをスライシングすることによってVを作ればよい。

V = v[:, :DIM]
print(f'V = \n{V}')

V = [[-0.679 0.186] [-0.291 -0.956] [-0.674 0.225]]

主成分得点

11 アイテム $i$ の第 $k$ 主成分得点

数式の定義から、主成分得点はx2のi行めとvのk列目の内積で得られるのでその通りに計算する。

i = 0
k = 0
xik3 = np.dot(x2[i, :] ,v[:, k])
print(f'x{i}{k}\'\' = {xik3:.3f}')

x00'' = 0.699

12 各アイテムの次元削減後の特徴ベクトル

@演算子を使って、x2とVの行列計算を行えばよい。

x3 = x2 @ V
print(f'x\'\' = \n{x3}')

x'' = [[ 0.699 0.264] [-0.139 1.065] [ 0.752 1.355] [-2.564 0.202] [ 1.969 -0.636] [ 0.373 -1.211] [-2.035 -0.496] [ 1.219 0.656] [-0.545 1.766] [-1.788 -0.601] [ 1.598 -0.535] [-0.148 -1.603] [ 0.611 -0.227]]

寄与率

13 第 $k$ 主成分の寄与率

固有値の和の中で第

k

主成分がどれだけの大きさを占めるかを、寄与率と呼んでいる。分散共分散行列はその性質上固有値が0未満にはならないので、分母が0になることもなく安心して割合の計算を行うことができたはず。

# k=0とすると第1主成分になる。おそらくインデックスの都合。
k = 0
pk = lmd[k]/lmd.sum()
print(f'第{k+1}主成分の寄与率 = {pk:.3f}')

第1主成分の寄与率 = 0.609

14 第k主成分までの累積寄与率

13を参考に、pkの分子の部分をスライスした部分の和としてあげればよい。

k = 2
ck = lmd[:k].sum()/lmd.sum()
print(f'第{k}主成分までの累積寄与率 = {ck:.3f}')

第2主成分までの累積寄与率 = 0.917

第8章評価値行列の次元削減

準備

import numpy as np
import numpy.linalg as LA
np.set_printoptions(precision=3)

# 縮約後の次元数
DIM = 2

R = np.array([
              [np.nan, 4,      3,      1,      2,      np.nan],
              [5,      5,      4,      np.nan, 3,      3     ],
              [4,      np.nan, 5,      3,      2,      np.nan],
              [np.nan, 3,      np.nan, 2,      1,      1     ],
              [2,      1,      2,      4,      np.nan, 3     ],
])
U = np.arange(R.shape[0])
I = np.arange(R.shape[1])
Ui = [U[~np.isnan(R)[:,i]] for i in I]
Iu = [I[~np.isnan(R)[u,:]] for u in U]
ru_mean = np.nanmean(R, axis=1)
R2 = R - ru_mean.reshape((ru_mean.size, 1))

分散共分散行列

01 各アイテムに対して与えられた平均中心化評価値の平均値

R2で行方向に平均をとればよい。np.nanmean()によってnp.nanの処理を行う必要があることも忘れずに。

ri2_mean = np.nanmean(R2,axis = 0)
print('ri2_mean = {}'.format(ri2_mean))

ri2_mean = [ 0.367 0.588 0.4 -0.037 -0.938 -0.383]

02 各アイテムの平均中心化評価値の分散

01と同じようにして分散をとればよい。

s2 = np.nanvar(R2,axis = 0)
print(f's^2 = {s2}')

s^2 = [0.336 1.348 0.505 1.279 0.137 0.494]

03 アイテム $i$ とアイテム $j$ の平均中心化評価値の共分散

共分散をとる際に、np.nanが絡むので今回はnp.covではなくnp.dotで内積をとる形で値を求める。R2[Uij, i]でi列目かつi列目とj列目でnp.nanでない行のみを取得することができるのだが、数式の定義にもあるように平均との差分をとる部分とUijの要素数で割る部分を忘れずに実装する。

i = 0
j = 1
Uij = np.intersect1d(Ui[i], Ui[j])
sij = np.dot(R2[Uij, i] - np.nanmean(R2[:, i]), R2[Uij, j] - np.nanmean(R2[:, j]))/Uij.size
print(f's{i}{j} = {sij:.3f}')

s01 = 0.892

04 分散共分散行列

03で行った処理を自分で関数化してから2重リスト内包表記を使って解いた。関数my_sijは途中のUijのサイズが0の場合Sの値を0に変更する必要があるためUij.sizeも返り値にふくめているが結局関数の中でゼロ割が起こるのでそこで発生したnp.nanを0にしてしまうやり方のほうがよさそうだなと思った。

def my_sij(i, j):
    Uij = np.intersect1d(Ui[i], Ui[j])
    sij = np.dot(R2[Uij, i] - np.nanmean(R2[:, i]), R2[Uij, j] - np.nanmean(R2[:, j]))/Uij.size
    return Uij.size, sij

S = np.array([[my_sij(i, j)[1] if my_sij(i, j)[0] else 0 for i in I] for j in I])
print(f'S = \n{S}')

S = [[ 0.336 0.892 0.169 -0.659 -0.057 -0.572] [ 0.892 1.348 0.505 -1.466 0.166 -0.817] [ 0.169 0.505 0.505 -0.655 -0.183 -0.27 ] [-0.659 -1.466 -0.655 1.279 -0.109 0.752] [-0.057 0.166 -0.183 -0.109 0.137 -0.015] [-0.572 -0.817 -0.27 0.752 -0.015 0.494]]

固有値・固有ベクトル

05 固有値・固有ベクトル

LA.eig()で計算すればよい。vの値の符号が逆になってしまっているのだが、これは問題ないはず。

以下のサイトで、符号が逆でも問題ないらしいことを確認している。主成分得点に関するサイトで、下のほうに記載がある。

https://www.cis.doshisha.ac.jp/mjin/R/24/24.html

lmd, v = LA.eig(S)
print(f'λ = {lmd}')
print(f'v = \n{v}')

λ = [ 3.909 0.48 0.233 -0.315 -0.049 -0.16 ] v = [[-0.327 -0.228 -0.484 0.685 0.279 -0.245] [-0.609 -0.211 0.099 -0.565 0.371 -0.344] [-0.245 0.806 0.097 0.134 -0.202 -0.472] [ 0.583 -0.126 -0.374 -0.258 -0.019 -0.661] [-0.028 -0.462 0.624 0.294 -0.394 -0.393] [ 0.348 0.157 0.465 0.204 0.767 -0.087]]

06 第 $d$ 主成分までの固有ベクトル

vについて固有値の大きさ順に列を並び替えた上で、DIM列までをスライシングすればよい。

indices = np.argsort(-lmd)
V = v[:, indices][:, :DIM]
print(f'V = \n{V}')

V = [[-0.327 -0.228] [-0.609 -0.211] [-0.245 0.806] [ 0.583 -0.126] [-0.028 -0.462] [ 0.348 0.157]]

主成分得点

07 ユーザ $u$ の第 $k$ 主成分得点

第7章の11でもやったように内積を計算すればよいのだが、直接R2[u, :]やV[:, k]を計算するとnp.nanのせいでよくないことに気をつけなければならない。

u = 0
k = 0
puk = np.dot(R2[u, Iu[u]] ,V[Iu[u], k])/Iu[u].size
print(f'p{u}{k} = {puk:.3f}')

p00 = -0.474

08 潜在因子行列

第7章の12でもやったように行列計算をすればよいのだが、前問のように直接R2やVを計算するとnp.nanのせいでよくないのでnp.nanを排除して2重リスト内包表記で求めることになる。今回は関数my_pukを用意してnp.nanを排除した上で計算を行う。

def my_puk(u, k):
    puk = np.dot(R2[u, Iu[u]], V[Iu[u], k]) / Iu[u].size
    return puk

P = np.array([[my_puk(u, k) for k in range(DIM)] for u in U])
print(f'P = \n{P}')

P = [[-0.474 0.127] [-0.251 -0.027] [-0.195 0.463] [-0.214 -0.017] [ 0.445 -0.009]]

第9章単純ベイズ分類器

準備

import pprint
import numpy as np
from fractions import Fraction

# 上位K件
TOP_K = 3
# スムージングパラメタ
ALPHA = 1
# クラス数
N = 2
# 各特徴量がとりうる値のユニーク数
M = [2, 2, 2, 2, 2, 2]
# しきい値
THETA = 0.5

Du = np.array([
               [1, 0, 0, 0, 1, 0, +1],
               [0, 1, 0, 0, 1, 0, +1],
               [1, 1, 0, 0, 1, 0, +1],
               [1, 0, 0, 1, 1, 0, +1],
               [1, 0, 0, 0, 0, 1, +1],
               [0, 1, 0, 1, 0, 1, +1],
               [0, 0, 1, 0, 1, 0, -1],
               [0, 0, 1, 1, 1, 0, -1],
               [0, 1, 0, 0, 1, 1, -1],
               [0, 0, 1, 0, 0, 1, -1],
               [1, 1, 0, 1, 1, 0, np.nan],
               [0, 0, 1, 0, 1, 1, np.nan],
               [0, 1, 1, 1, 1, 0, np.nan],
])
I = np.arange(Du.shape[0])
x = Du[:,:-1]
ru = Du[:,-1]

Iu = I[~np.isnan(ru)]
Iu_not = np.setdiff1d(I, Iu)
DuL = Du[Iu]
xL = x[Iu]
ruL = ru[Iu]
DuU = Du[Iu_not]
xU = x[Iu_not]

問題設定

省略

事前確率

01 評価値が $r$ となる事前確率（分子）

問題01から09では、一部コードのみ与えられた関数P_prior、P_cond、Pを完成させていく。

01では、事前確率の分子を求める。説明から、与えられた

r

と同じ評価値を持つアイテムの数を数えればよい。

# 以下、試しに計算するのに用いたコードとその計算結果
r = 1
np.where(ru == r, 1, 0).sum()

02 評価値が $r$ となる事前確率（分母）

02では、事前確率の分母を求める。説明から、評価値を持つアイテムの数を数えればよい。

# 以下、試しに計算するのに用いたコードとその計算結果
ruL.size

# 問題01と02の結果を利用したもの。スムージングない版。
def P_prior(r):
    """
    評価値がrとなる事前確率を返す。

    Parameters
    ----------
    r : int
        評価値

    Returns
    -------
    Fraction
        事前確率
    """
    num = np.where(ru == r, 1, 0).sum()
    den = ruL.size
    prob = Fraction(num, den, _normalize=False)
    return prob

r = +1
print(f'P(R={r:+}) = {P_prior(r)}')
r = -1
print(f'P(R={r:+}) = {P_prior(r)}')

P(R=+1) = 6/10 P(R=-1) = 4/10

特徴量 $k$ に関する条件付き確率

03 特徴量 $k$ に関する条件付き確率（分子）

03では、与えられた評価値

r

と評価値が一致し、なおかつ特徴量

k

に関する部分が同じアイテムの数を数えることで望みの結果を得ることができる。

# 以下、試しに計算するのに用いたコードとその計算結果
r = 1
k = 1
i = 2
Du[:, k][(Du[i, k] == Du[:, k])&(ru == r)].size

04 特徴量kに関する条件付き確率（分母）

04では、与えられた

r

に評価値が一致するアイテムの数

i

を数えることで望みの結果を得ることができる。

# 以下、試しに計算するのに用いたコードとその計算結果
r = 1
ru[ru == r].size

# 問題03と04の結果を利用したもの。スムージングない版。
def P_cond(i, k, r):
    """
    評価値がrとなる条件下でアイテムiの特徴量kに関する条件付き確率を返す。

    Parameters
    ----------
    i : int
        アイテムiのID
    k : int
        特徴量kのインデックス
    r : int
        評価値

    Returns
    -------
    Fraction
        条件付き確率
    """
    num = Du[:, k][(Du[i, k] == Du[:, k])&(ru == r)].size
    den = ru[ru == r].size
    prob = Fraction(num, den, _normalize=False)
    return prob

i = 10
k = 0
r = +1
print('P(X{}=x{},{}|R={:+}) = {}'.format(k, i, k, r, P_cond(i, k, r)))
r = -1
print('P(X{}=x{},{}|R={:+}) = {}'.format(k, i, k, r, P_cond(i, k, r)))

P(X0=x10,0|R=+1) = 4/6 P(X0=x10,0|R=-1) = 0/4

嗜好予測

05 好き嫌いの確率

事前確率ppと、各特徴量に関する条件付き確率の積を書けることで計算すればよい。warningが発生しているが、解決は時間があればまた後でおこなうつもり。

def P(i, r):
    """
    アイテムiの評価値がrとなる確率を返す。

    Parameters
    ----------
    i : int
        アイテムiのID
    r : int
        評価値

    Returns
    -------
    Fraction
        事前確率
    list of Fraction
        各特徴量に関する条件付き確率
    float
        好き嫌いの確率
    """
    pp = P_prior(r)
    pk = [P_cond(i, k, r) for k in range(0, x.shape[1])]
    prob = float(pp) * np.array([float(p) for p in pk]).prod()
    return pp, pk, prob

i = 10
r = +1
pp, pk, prob = P(i, r)
left = 'P(R={:+}|'.format(r) + ','.join(map(str, map(int, x[i]))) + ')'
right = str(pp) + '×' + '×'.join(map(str, pk))
print(f'{left} = {right} = {prob:.3f}')

r = -1
pp, pk, prob = P(i, r)
left = 'P(R={:+}|'.format(r) + ','.join(map(str, map(int, x[i]))) + ')'
right = str(pp) + '×' + '×'.join(map(str, pk))
print(f'{left} = {right} = {prob:.3f}')

P(R=+1|1,1,0,1,1,0) = 6/10×4/6×3/6×6/6×2/6×4/6×4/6 = 0.030 P(R=-1|1,1,0,1,1,0) = 4/10×0/4×1/4×1/4×1/4×3/4×2/4 = 0.000

/usr/local/lib/python3.7/dist-packages/ipykernel_launcher.py:23: DeprecationWarning: Fraction.__float__ returned non-float (type numpy.float64). The ability to return an instance of a strict subclass of float is deprecated, and may be removed in a future version of Python.

ラプラススムージング

06 評価値が $r$ となる事前確率（分子）（ラプラススムージングあり）

ほぼ問題01と同じように解く。ALPHAだけは足すようにする。

# 以下、試しに計算するのに用いたコードとその計算結果
r = 1
np.where(ru == r, 1, 0).sum() + ALPHA

07 評価値が $r$ となる事前確率（分母）（ラプラススムージングあり）

ほぼ問題02と同じように解く。N*ALPHAだけは足すようにする。

# 以下、試しに計算するのに用いたコードとその計算結果
ruL.size + N * ALPHA

# 問題06と07の結果を利用したもの。スムージングあり版。
def P_prior(r):
    """
    評価値がrとなる事前確率を返す。

    Parameters
    ----------
    r : int
        評価値

    Returns
    -------
    Fraction
        事前確率
    """
    num = np.where(ru == r, 1, 0).sum() + ALPHA
    den = ruL.size + N * ALPHA
    prob = Fraction(num, den, _normalize=False)
    return prob

08 特徴量 $k$ に関する条件付き確率（分子）（ラプラススムージングあり）

ほぼ問題03と同じように解く。ALPHAだけは足すようにする。

# 以下、試しに計算するのに用いたコードとその計算結果
r = 1
k = 1
i = 2
Du[:, k][(Du[i, k] == Du[:, k])&(ru == r)].size + ALPHA

09 特徴量 $k$ に関する条件付き確率（分母）（ラプラススムージングあり）

ほぼ問題04と同じように解く。ALPHAとMの第

k

成分の積だけは忘れず足すようにする。

# 以下、試しに計算するのに用いたコードとその計算結果
r = 1
k = 1
ru[ru == r].size + ALPHA * M[k]

# 問題08と09の結果を利用したもの。スムージングあり版。
def P_cond(i, k, r):
    """
    評価値がrとなる条件下でアイテムiの特徴量kに関する条件付き確率を返す。

    Parameters
    ----------
    i : int
        アイテムiのID
    k : int
        特徴量kのインデックス
    r : int
        評価値

    Returns
    -------
    Fraction
        条件付き確率
    """
    num = Du[:, k][(Du[i, k] == Du[:, k])&(ru == r)].size + ALPHA
    den = ru[ru == r].size + ALPHA * M[k]
    prob = Fraction(num, den, _normalize=False)
    return prob

第10章決定木

準備

import pprint
import numpy as np

Du = np.array([
               [1, 0, 0, 0, 1, 0, +1],
               [0, 1, 0, 0, 1, 0, +1],
               [1, 1, 0, 0, 1, 0, +1],
               [1, 0, 0, 1, 1, 0, +1],
               [1, 0, 0, 0, 0, 1, +1],
               [0, 1, 0, 1, 0, 1, +1],
               [0, 0, 1, 0, 1, 0, -1],
               [0, 0, 1, 1, 1, 0, -1],
               [0, 1, 0, 0, 1, 1, -1],
               [0, 0, 1, 0, 0, 1, -1],
               [1, 1, 0, 1, 1, 0, np.nan],
               [0, 0, 1, 0, 1, 1, np.nan],
               [0, 1, 1, 1, 1, 0, np.nan],
])
I = np.arange(Du.shape[0])
x = Du[:,:-1]
ru = Du[:,-1]

Iu = I[~np.isnan(ru)]
Iu_not = np.setdiff1d(I, Iu)
DuL = Du[Iu]
xL = x[Iu]
ruL = ru[Iu]
DuU = Du[Iu_not]
xU = x[Iu_not]

ジニ係数

01 「好き」な事例が含まれる割合

問題01から03では、一部コードのみ与えられた関数Gを完成させる。問題01では、評価値を与えられたアイテムの数で「好き」と評価されたアイテムの数を割ってあげてppを計算する。

02 「嫌い」な事例が含まれる割合

問題01と同じように計算すればよい。

03 ジニ係数

定義通りに計算すればよい。

def G(DL):
    """
    訓練データDLのジニ係数を返す。
    
    Parameters
    ----------
    DL : ndarray
        訓練データDL

    Returns
    -------
    float
        ジニ係数
        ただし、DLに事例が含まれていないときは0
    """
    if DL.shape[0] == 0:
        return 0
    r = DL[:,-1]
    pp = DL[r == +1].shape[0] / DL.shape[0]
    pn = DL[r == -1].shape[0] / DL.shape[0]
    gini = 1 - (pp**2 + pn**2)
    return gini

recsys-pythonをやったやつまとめ

recsys-python

第1章 評価履歴

評価履歴

01 評価履歴の生成

02 評価履歴の形状

03 評価履歴の行数

04 評価履歴の列数

05 評価履歴の全要素数

アイテム

06 アイテム集合

07 アイテムの特徴ベクトルの集合

08 アイテムiiiの特徴ベクトル

09 評価値集合

10 評価値集合の形状

11 評価値集合の全要素数

12 評価値集合の部分集合

13 評価値集合の逆順

14 アイテムiiiに対する評価

アイテム集合

15 ユーザuuuが未評価であるか否かの判定

16 ユーザuuuが評価済みであるか否かの判定

17 ユーザuuuが評価済みのアイテム集合IuI_uIu​

18 ユーザuuuが好きと評価したアイテム集合Iu+I_{u+}Iu+​

19 ユーザuuuが嫌いと評価したアイテム集合Iu−I_{u-}Iu−​

20 ユーザuuuが未評価のアイテム集合Iˉu\bar{I}_uIˉu​

訓練データと予測対象データ

21 訓練データ

22 訓練事例数

23 正事例数

24 不事例数

25 予測対象データ

26 予測対象事例数

第2章 評価値行列

評価値行列

01 評価値行列の生成

02 ユーザ集合

03 アイテム集合

04 ユーザ数

05 アイテム数

06 評価値

評価値行列の疎性

07 評価値行列の全要素数

08 観測されているか否かの判定

09 評価値行列の観測値数

10 評価値行列の疎性

評価済みアイテム集合

11 ユーザuuuが評価済みのアイテム集合IuI_uIu​

12 各ユーザの評価済みアイテム集合

13 ユーザuuuとvvvの共通の評価済みアイテム集合Iu,vI_{u, v}Iu,v​

14 アイテムiiiを評価済みのユーザ集合

15 各アイテムの評価済みユーザ集合

16 アイテムiiiとアイテムjjjの両方を評価済みのユーザ集合Ui,jU_{i, j}Ui,j​

17 評価値行列全体の平均評価値

18 各アイテムの平均評価値

19 各ユーザの平均評価値

20 評価値ベクトルの形状変換

21 平均中心化評価値行列

第3章 類似度に基づく推薦

ユーザプロファイル

01 好きなアイテム集合に含まれるアイテムの特徴ベクトルの集合

02 特徴ベクトルの総和

03 ユーザプロファイル

コサイン類似度

04 ベクトルの内積

05 ユーザプロファイルのノルム

06 特徴ベクトルのノルム

推薦

07 各アイテムに対するスコア

08 推薦リスト

第4章 kkk近傍法

距離

01 ユークリッド距離

近傍アイテム

02 アイテム-アイテム距離行列

03 距離の昇順に並べ替えたインデックスの配列

04 近傍kkk件のアイテムのインデックス配列

05 各対象アイテムの近傍アイテム集合

嗜好予測（多数決方式）

06 近傍アイテム集合のうち「好き」と評価したアイテム集合

第1章評価履歴

08 アイテム $i$ の特徴ベクトル

14 アイテム $i$ に対する評価

15 ユーザ $u$ が未評価であるか否かの判定

16 ユーザ $u$ が評価済みであるか否かの判定

17 ユーザ $u$ が評価済みのアイテム集合 $I_u$

18 ユーザ $u$ が好きと評価したアイテム集合 $I_{u+}$

19 ユーザ $u$ が嫌いと評価したアイテム集合 $I_{u-}$

20 ユーザ $u$ が未評価のアイテム集合 $\bar{I}_u$

第2章評価値行列

11 ユーザ $u$ が評価済みのアイテム集合 $I_u$

13 ユーザ $u$ と $v$ の共通の評価済みアイテム集合 $I_{u, v}$

14 アイテム $i$ を評価済みのユーザ集合

16 アイテム $i$ とアイテム $j$ の両方を評価済みのユーザ集合 $U_{i, j}$

第3章類似度に基づく推薦

第4章 $k$ 近傍法

04 近傍 $k$ 件のアイテムのインデックス配列

第5章ユーザベース協調フィルタリング

第6章アイテムベース協調フィルタリング

01 アイテム $i$ とアイテム $j$ のコサイン類似度

第7章評価履歴の次元削減

04 標準化された特徴量 $k$ と特徴量 $l$ の共分散

11 アイテム $i$ の第 $k$ 主成分得点

13 第 $k$ 主成分の寄与率

第8章評価値行列の次元削減

03 アイテム $i$ とアイテム $j$ の平均中心化評価値の共分散

06 第 $d$ 主成分までの固有ベクトル

07 ユーザ $u$ の第 $k$ 主成分得点